1.函数f在极点a的极限值是
∞
{\displaystyle \infty }
.也就是说
lim
z
→
a
f
(
z
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\infty }
2.由性质1.可知,如果令函数
h
(
z
)
=
1
f
(
z
)
{\displaystyle h(z)={\frac {1}{f(z)}}}
那么代入定义可知：
h
(
z
)
=
(
z
−
a
)
m
1
g
(
z
)
{\displaystyle h(z)=(z-a)^{m}{\frac {1}{g(z)}}}
其中
1
g
(
z
)
{\displaystyle {\frac {1}{g(z)}}}
在
z
=
a
{\displaystyle z=a}
点解析。那么有
z
=
a
{\displaystyle z=a}
是
h
(
z
)
{\displaystyle h(z)}
的m阶零点。
3.由于
g
{\displaystyle g}
是全纯函数，
f
{\displaystyle f}
可以表示为：
f
(
z
)
=
a
−
n
(
z
−
a
)
n
+
⋯
+
a
−
1
(
z
−
a
)
+
∑
k
≥
0
a
k
(
z
−
a
)
k
.
{\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}.}
这是一个洛朗级数，它的主部分是有限的。全纯函数
∑
k
≥
0
a
k
(
z
−
a
)
k
{\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}}
称为
f
{\displaystyle f}
的正则部分。因此，点
a
{\displaystyle a}
是
f
{\displaystyle f}
的
n
{\displaystyle n}
阶极点，当且仅当
f
{\displaystyle f}
在
a
{\displaystyle a}
处的罗朗级数中所有低于
−
n
{\displaystyle -n}
的次数都为零，而
−
n
{\displaystyle -n}
次项不为零。